Halveer en verdubbel

In Wiskundige bewerkings is dit belangrik dat jy onnodige foute uitskakel.
Baie keer moet jy verdubbel ( x 2) of halveer ( ÷ 2) en in jou haastigheid, bereken jy verkeerd en eindig met 'n verkeerde antwoord.
Wat absoluut onnodig is.

Hier onder is 'n maklike manier wat jy kan gebruik om hierdie bewerkings te doen.
Moet jy dit gebruik? Nee, net as dit vir jou sin maak en jy dit makliker en akkurater as jou gewone manier van doen, vind.

Verdubbel

As ek vir jou vra om 38 te verdubbel kan jy dit as volg doen:

38 = 40 - 2 (stem jy saam?)

Daarom:
38 x 2 = (40 x 2) - (2 x 2) = 80 - 4 = 76

Dit mag vir jou omslagtig klink, maar kry die tegniek onder die knie deur die volgende somme te probeer:

1. 27 x 2
2. 39 x 2
3. 56 x 2
4. 48 x 2

Antwoorde:

1. 54
2. 78
3. 112
4. 96

Kyk of jy ook soos ek gedink het toe jy 56 x 2 gedoen het:

56  = 60 - 4

Daarom:

56 x 2 = (60 x 2) - (4 x 2) = 120 - 8 = 112

Jy kan mos egter ook sê:

56 = 50 + 6

Daarom:

56 x 2 = (50 x 2) + (6 x 2) = 100 + 12 = 112

Halveer

Ons gaan dieselfde beginsels by halvering toepas.

Halveer 56:
56 = 60 - 4

Daarom:
56 ÷ 2 = (60 ÷ 2) - (4 ÷ 2) = 30 - 2 = 28

Doen die volgende somme om te kyk of jy die tegniek suksesvol kan gebruik:

1. 38 ÷ 2
2. 64 ÷ 2
3. 78 ÷ 2
4. 94 ÷ 2

Antwoorde:

1. 19
2. 32
3. 36
4. 47

Kyk of jy met my saamstem.

Halveer 94:

94 = 100 - 6

Daarom:

94 ÷ 2 = (100 ÷ 2) - (6 ÷ 2) = 50 - 3 = 47

Hoe eenvoudiger jy jou tegniek om te halveer en verdubbel hou, hoe minder onnodige foute sal jy maak.

 

Breuke: Vereenvoudig

Om breuke te vereenvoudig, beteken dat jy die breuk in sy eenvoudigste vorm moet kan neerskryf.

Hoe vereenvoudig ek 'n breuk?

Kry 'n gemene faktor (dit moet dieselfde getal wees) wat in beide die teller en die noemer kan indeel. 

Laat ek verduidelik aan die hand van 'n voorbeeld waar ek die volgende breuk wil vereenvoudig:  ⁶⁄₁₂

 6 ÷ 2  (2 is 'n faktor van 6)

12÷ 2 (2 is 'n faktor van 12)

is gelyk aan: ³⁄₆

Maar daar is nog 'n gemene faktor vir die teller en noemer, nl. 3

3 ÷ 3 (3 is 'n faktor van 3)

6 ÷ 3 (3 is 'n faktor van 6)

is gelyk aan: ¹⁄<sub>2

Daarom kan ons sê</sub> ⁶⁄_{12 in sy eenvoudigste vorm, as} ¹⁄_{2 geskryf kan word!!}

Hier onder is meer as genoeg voorbeelde om voldoende oefening te kry.

Vereenvoudig die volgende breuke:

12⁄16 = ___	5⁄10 = ___	3⁄15 = ___	20⁄30 = ___	16⁄20 = ___
6⁄9 = ___	20⁄25 = ___	2⁄8 = ___	10⁄15 = ___	8⁄12 = ___
10⁄20 = ___	30⁄50 = ___	12⁄15 = ___	15⁄25 = ___	9⁄99 = ___
28⁄63 = ___	30⁄42 = ___	72⁄81 = ___	35⁄49 = ___	40⁄88 = ___

Breuke: Om breuke te deel

Om breuke te vermenigvuldig met mekaar, moet jy weet wat die volgende terme beteken:

• teller
• noemer
• deler / deeltal en kwosiënt
• produk van
• vereenvoudig

Die proses om breuke met mekaar te deel, is soos vermenigvuldig maar met een ekstra stap:

Stap 1: Bepaal die resiprook van die deler

Stap 2: vermenigvuldig die tellers met mekaar (van hier af is dit normale vermenigvuldiging)
Stap 3: vermenigvuldig die noemers met mekaar
Stap 4: skryf die produk van tellers op die produk van die noemers
Stap 5: vereenvoudig die breuk

Kom ek verduidelik aan die hand van 2 voorbeelde:

Voorbeeld 1:  ³⁄₆ ÷ ⁵⁄₄

1. Die deler is ⁵⁄₄. Die resiprook (omgekeerde) van ⁵⁄₄ is ⁴⁄₅

Effektief raak die som nou:  ³⁄₆ x ⁴⁄₅

2. teller x teller: 3 x 4 = 12

3. noemer x noemer: 6 x 5 = 30

4. skryf die produk van die tellers op die produk van die noemers: ¹²⁄₃₀

5. Vereenvoudig: ¹²⁄₃₀ = ²⁄₅ en dit is die antwoord!

Voorbeeld 2:  ⁵⁄₇  ÷  ⁶⁄₄

1.  1. Die deler is ⁶⁄₄. Die resiprook (omgekeerde) van ⁶⁄₄ is ⁴⁄₆

Effektief raak die som nou:  ⁵⁄₇  x  ⁴⁄₆

2. teller x teller: 5 x 4 = 20

3. noemer x noemer: 7 x 6 = 42

4. skryf die produk van die tellers op die produk van die noemers: ²⁰⁄₄₂

5. Vereenvoudig: ²⁰⁄₄₂ = ¹⁰⁄₂₁ en dit is die antwoord!

Dis maar net 'n kwessie van oefen en oefen.

Breuke: Om breuke van mekaar af te trek

Om breuke by mekaar te kan tel, moet jy weet wat die volgende terme beteken:

• teller
• noemer
• verskil
• vereenvoudig

Die proses om breuke van mekaar af te trek, is:

Stap 1: bepaal die verskil tussen die tellers
Stap 2: bepaal die gemeenskaplike noemer
Stap 3: skryf die verskil tussen die tellers op die gemeenskaplike noemer
Stap 4: vereenvoudig die breuk

Kom ek verduidelik aan die hand van 2 voorbeelde:

Voorbeeld 1:  ⁷⁄₁₂ - ⁴⁄₁₂

1. teller - teller: 7 - 4 = 3

2. bepaal die gemeenskaplike noemer: 12

3. skryf die verskil tussen die tellers op die gemeenskaplike noemer: ³⁄₁₂

4. Vereenvoudig: ³⁄₁₂ = ¹⁄₄ en dit is die antwoord!

Voorbeeld 2:  ⁷⁄₉ - ¹⁄₉

1. teller - teller: 7 - 1 = 6

2. bepaal die gemeenskaplike noemer: 9

3. skryf die verskil tussen die tellers op die gemeenskaplike noemer: ⁶⁄₉

4. Vereenvoudig: ⁶⁄₉ = ²⁄₃ en dit is die antwoord!

Maar wat as die noemers nie dieselfde getal is nie?

Stap 1: herlei die breuke na gelykwaardige breuke met 'n dieselfde noemer

(dis 'n ekstra stap)

Stap 2: bepaal die verskil tussen die tellers

Stap 3: bepaal die gemeenskaplike noemer

Stap 4: skryf die verskil van die tellers op die gemeenskaplike noemer

Stap 5: vereenvoudig die breuk

Voorbeeld 3:  ³⁄₄ - ⁴⁄₆

1.  herlei die breuke na gelykwaardige breuke met dieselfde noemer:
 ³⁄₄ = ⁹⁄₁₂  en  ⁴⁄₆ = ⁸⁄₁₂

Eintlik is die som dan: ⁹⁄₁₂ - ⁸⁄₁₂

2. teller - teller: 9 - 8 = 1

3. bepaal die gemeenskaplike noemer: 12

4. skryf die verskil van die tellers op die gemeenskaplike noemer: ¹⁄₁₂

5. Vereenvoudig: ¹⁄₁₂  en dit is die antwoord! (Hy kan nie verder vereenvoudig word nie)

Breuke: Die optel van breuke

Om breuke by mekaar te kan tel, moet jy weet wat die volgende terme beteken:

• teller
• noemer
• som van
• vereenvoudig

Die proses om breuke by mekaar te tel, is:

Stap 1: bepaal die som van die tellers
Stap 2: bepaal die gemeenskaplike noemer
Stap 3: skryf die som van die tellers op die gemeenskaplike noemer
Stap 4: vereenvoudig die breuk

Kom ek verduidelik aan die hand van 2 voorbeelde:

Voorbeeld 1:  ³⁄₅ + ⁴⁄₅

1. teller + teller: 3 + 4 = 7

2. bepaal die gemeenskaplike noemer: 5

3. skryf die som van die tellers op die gemeenskaplike noemer: ⁷⁄₅

4. Vereenvoudig: ⁷⁄₅ = 1 ²⁄₅ en dit is die antwoord!

Voorbeeld 2:  ⁵⁄₇ + ⁴⁄₇

1. teller + teller: 3 + 4 = 7

2. bepaal die gemeenskaplike noemer: 7

3. skryf die som van die tellers op die gemeenskaplike noemer: ⁹⁄₇

4. Vereenvoudig: ⁹⁄₇ = 1 ²⁄₇ en dit is die antwoord!

Maar wat as die noemers nie dieselfde getal is nie?

Stap 1: herlei die breuke na gelykwaardige breuke met 'n dieselfde noemer

(dis 'n ekstra stap)

Stap 2: bepaal die som van die tellers

Stap 3: bepaal die gemeenskaplike noemer

Stap 4: skryf die som van die tellers op die gemeenskaplike noemer

Stap 5: vereenvoudig die breuk

Voorbeeld 3:  ³⁄₄ + ⁴⁄₆

1.  herlei die breuke na gelykwaardige breuke met dieselfde noemer:
 ³⁄₄ = ⁹⁄₁₂  en  ⁴⁄₆ = ⁸⁄₁₂

Eintlik is die som dan: ⁹⁄₁₂ + ⁸⁄₁₂

2. teller + teller: 9 + 8 = 17

3. bepaal die gemeenskaplike noemer: 12

4. skryf die som van die tellers op die gemeenskaplike noemer: ¹⁷⁄₁₂

5. Vereenvoudig: ¹⁷⁄₁₂ = 1 ⁵⁄₁₂ en dit is die antwoord! 

 

Breuke: Vermenigvuldiging van breuke

Om breuke te vermenigvuldig met mekaar, moet jy weet wat die volgende terme beteken:

• teller
• noemer
• produk van
• vereenvoudig

Die proses om breuke met mekaar te vermenigvuldig, is:

Stap 1: vermenigvuldig die tellers met mekaar

Stap 2: vermenigvuldig die noemers met mekaar
Stap 3: skryf die produk van tellers op die produk van die noemers
Stap 4: vereenvoudig die breuk

Kom ek verduidelik aan die hand van 2 voorbeelde:

Voorbeeld 1:  ³⁄₆  x  ⁴⁄₅

1. teller x teller: 3 x 4 = 12

2. noemer x noemer: 6 x 5 = 30

3. skryf die produk van die tellers op die produk van die noemers: ¹²⁄₃₀

4. Vereenvoudig: ¹²⁄₃₀ = ²⁄₅ en dit is die antwoord!

Voorbeeld 2:  ⁵⁄₇  x  ⁴⁄₆

1. teller x teller: 5 x 4 = 20


2. noemer x noemer: 7 x 6 = 42


3. skryf die produk van die tellers op die produk van die noemers: ²⁰⁄₄₂


4. Vereenvoudig: ²⁰⁄₄₂ = ¹⁰⁄₂₁ en dit is die antwoord!

Breuke

Wat is 'n breuk

'n Breuk verwys na 'n gedeelte van 'n geheel.   Een Derde sal verwys na 1 deel van 3 gelyke dele. So word 'n derde geskryf:

1    < ----- Teller
3   < ----- Noemer

  

Die boonste getal (1) vertel vir ons na hoeveel gedeeltes ons verwys en die onderste getal (3) sê in hoeveel die geheel verdeel is.

• 1 is dus die teller
• 3 is die noemer
• hierdie breuk beteken 1 ÷ 3
• ons lees een derde

Ek verduidelik verder aan die hand van die volgende:

1.   4 12  vier twaalfdes beteken ek praat van 4 dele van 12 gelyke dele 2.   6 11  ses elfdes beteken ek praat van 6 dele van 11 gelyke dele 3.   6 10  ses tiendes beteken ek praat van 6 dele van 10 gelyke dele 4  11 12  elf twaalfdes beteken ek praat van 11 dele van 12 gelyke dele

In hierdie grafiek, is vier (teller) sesdes (noemer) ingekleur.

Gelykwaardige / Ekwivalente Breuke

Gelykwaardige breuke is breuke wat se waarde is ewe veel is en hulle is ewe groot.

Kyk na die gedeeltes hier bo wat blou gekleur is, dan sien jy dat die breuke:

1    ;   2   ;   4   ;   5    ;   6  

2        4       8      10      12

Almal ewe groot is. Hulle is dus gelykwaardige breuke.

Hoe vereenvoudig ek 'n breuk?

Kry 'n gemene faktor (dit moet dieselfde getal wees) wat in beide die teller en die noemer kan indeel. 

Laat ek verduidelik aan die hand van 'n voorbeeld waar ek die volgende breuk wil vereenvoudig:  ⁶⁄₁₂

 6 ÷ 2  (2 is 'n faktor van 6)

12÷ 2 (2 is 'n faktor van 12)

is gelyk aan: ³⁄₆

Maar daar is nog 'n gemene faktor vir die teller en noemer, nl. 3

3 ÷ 3 (3 is 'n faktor van 3)

6 ÷ 3 (3 is 'n faktor van 6)

is gelyk aan: ¹⁄₂

 _{Daarom kan ons sê} ⁶⁄_{12 ekwivalent aan} ³⁄_{6  is, maar ook ekwivalent aan} ¹⁄_{2  is!!}

Negatiewe Getalle

Wat is 'n negatiewe getal?

'n Negatiewe getal is 'n nommer met 'n minus teken voor hom.

Kyk na hierdie getallelyn:

   -10  -9  -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10   

Die getalle raak al hoe kleiner hoe verder jy na links beweeg en al hoe groter hoe verder jy na regs beweeg. (   <  links en regs >)

Die getal -5 is dus 5 minder as 0 en -2 grade Celsius beteken dit is 2 grade kleiner as nul (vriespunt).

Bereken nou die antwoorde van die volgende somme:

1. 12 + (-5) + 3 + (-6) = ____
2. -9 + (-6) + 23 = ____

Watter getal is die kleinste:

1. -10 of -6
2. -1 of -5

 Rangskik die getalle van klein na groot:

1. 22; 45; -12; 76; -9
2. 1009; -567; 987; -232

 Watter getal is:

1. 7 kleiner as -2
2. 12 kleiner as 5
3. 21 kleiner as 19

Bereken die volgende:

Pieter het by die Stormsrviermond 'n reksprong gaan doen (bungy jump). Die rivier is 216 meter onder die brug (-216m).  Met die sprong het die water geraak en die rek het hom 27 m terug die lug ingeskiet. Hoe ver het hy onder die brug gaan draai, toe die rek hom teruggeskiet het? ____

Kontak my gerus vir enige navrae of artikel bydraes:

Danny Jacobs

wiskunde[at]iburst.co.za

Pascal se driehoek

Hierdie driehoek is vernoem na Blaise Pascal, 'n Franse Wiskundige.

Kan jy raai watter getalle in die volgende ry gaan kom?
(Kyk of jy 'n patroon kan raaksien!)

Pret met getalpatrone

1. Neem enige getal tussen 12 en 20

• Vermenigvuldig die getal met 6
• Tel 18 by
• Deel die antwoord deur 6
• Trek die oorspronklike getal af

Wat is die antwoord?_____

Kies 'n ander getal tussen 12 en 20 en doen dieselfde berekeninge.

Wat is die antwoord?_____

Sien jy 'n patroon?

2. Kies enige getal

• Tel die volgende natuurlike getal by (m.a.w tel die getal +1 by)
• Tel 11 by
• Halveer die antwoord
• Trek die oorsrponklike getal af

Wat is jou antwoord? ____

Kies 'n ander getal en doen dieselfde berekening.

Wat is jou antwoord? ____

Sien jy 'n patroon?

3. Kyk na die sakrekenaar en doen die volgende berekeninge:

• Trek die 2de ry syfers van die eerste ry af: 789 - 456 = ___
• Trek die 3rde ry van die 2de ry af: 456 - 123 = ____
• Begin weer met die 1ste ry minus die 2de ry, maar werk van agter af: 987 - 654 = ___
• Trek die 2de kolom syfers van die 3de kolom af: 963 - 852 = ___
• Trek die 1ste kolom van die 2de kolom af: 852 - 741 = ____
• Begin weer met die 1ste kolom minus die 2de kolom, maar werk van onder af: 369 - 258 = ___

Sien jy die patroon?

4. Die 9 maal tafel:

9 X 1   = 9
9 X 2   = 18 tel nou die 2 syfers bymekaar: 1 + 8 = 9
9 X 3   = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___
9 X 4   = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___

9 X 5   = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___
9 X 6   = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___
9 X 7   = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___
9 X 8   = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___
9 X 9   = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___
9 X 10 = ___ tel nou die 2 syfers bymekaar: ___ + ___ = ___

5. Kom ons doen dieselfde met groter getalle en die 9 maal tafel:

9 X 24   = 216 tel nou die 3 syfers bymekaar: 2 + 1 +6 = 9
9 X 25   = ___ tel nou die 3 syfers bymekaar: ___ + ___ + ___= ___
9 X 26   = ___ tel nou die 3 syfers bymekaar: ___ + ___ + ___= ___
9 X 27   = ___ tel nou die 3 syfers bymekaar: ___ + ___ + ___= ___
9 X 28   = ___ tel nou die 3 syfers bymekaar: ___ + ___ + ___= ___


6. Doen nou 'n paar met die sakrekenaar en kyk of jy 'n patroon kan sien.

7. Nou kan ons moontlik aan 'n reel begin dink, maar kom ons kyk of dit altyd gebruik kan word (raai eers voordat jy die antwoord uitwerk).
Watter van die volgende getalle is deelbaar deur 9?

	333	549	654	837	432	771	522
JA	✓
NEE

As die som van die syfers van 'n getal deelbaar deur 9 is, is daardie getal deelbaar deur 9.
 
8. Iets ouliks